Calcule a integral de sobre o contorno fechado , formado pelas retas e .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcular a integral de sobre um contorno fechado formado pelas retas , e com . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integrais de linha ou circulares. Vamos precisar entender como parametrizar o contorno e aplicar as fórmulas de integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o contorno fechado . As retas envolvidas são:
  • : que é o eixo Y.
  • : uma linha horizontal no ponto onde Y é 1.
  • : uma parábola que abre para cima.
Como , estamos considerando apenas a parte direita da parábola.

Passo 3

Vamos dividir o contorno em três partes para facilitar a integração:
  1. De a ao longo de de a (pois atinge quando ).
  2. De a ao longo da parábola de a .
  3. De de volta a ao longo de com variando de 1 para 0.

Passo 4

Para cada trecho, vamos parametrizar as curvas e calcular a integral de .
Trecho 1: a (linha reta )
  • Aqui, constante.
  • varia de 0 a 1.
  • A parametrização: , , onde vai de 0 a 1.
  • A diferencial de arco .
A integral fica:
Trecho 2: a (parábola )
  • Aqui, .
  • varia de 1 a 0.
  • A parametrização: , , onde vai de 1 a 0.
  • A diferencial de arco .
A integral fica:
Trecho 3: a (linha reta )
  • Aqui, constante.
  • varia de 1 a 0.
  • A parametrização: , , onde vai de 1 a 0.
  • A diferencial de arco .
A integral fica:

Resposta

Somando as três integrais:
Então, a integral de sobre o contorno fechado é 0.

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