Calcule a integral de
sobre o contorno fechado
, formado pelas retas
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcular a integral de
sobre um contorno fechado formado pelas retas
,
e
com
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integrais de linha ou circulares. Vamos precisar entender como parametrizar o contorno e aplicar as fórmulas de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o contorno fechado
. As retas envolvidas são:
-
: que é o eixo Y. -
: uma linha horizontal no ponto onde Y é 1. -
: uma parábola que abre para cima.
Como
, estamos considerando apenas a parte direita da parábola.
Passo 3
Vamos dividir o contorno em três partes para facilitar a integração:
- De
a ao longo de de a (pois atinge quando ). - De
a ao longo da parábola de a . - De
de volta a ao longo de com variando de 1 para 0.
Passo 4
Para cada trecho, vamos parametrizar as curvas e calcular a integral de
.
Trecho 1:
a
(linha reta
)
- Aqui,
constante. -
varia de 0 a 1. - A parametrização:
, , onde vai de 0 a 1. - A diferencial de arco
.
A integral fica:
Trecho 2:
a
(parábola
)
- Aqui,
. -
varia de 1 a 0. - A parametrização:
, , onde vai de 1 a 0. - A diferencial de arco
.
A integral fica:
Trecho 3:
a
(linha reta
)
- Aqui,
constante. -
varia de 1 a 0. - A parametrização:
, , onde vai de 1 a 0. - A diferencial de arco
.
A integral fica:
Resposta
Somando as três integrais:
Então, a integral de
sobre o contorno fechado
é 0.
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