Calcule I=ointC 4 x y^3 d x+6 x^2 y^2 d y, com C: x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha , onde é o círculo unitário . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região , a integral de linha é igual à integral dupla . Ou seja:
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (6x^2y^2) = 12xy^2
partial Ppartial y = partialpartial y (4xy^3) = 12xy^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 12xy^2 - 12xy^2 = 0

Passo 5

Isso significa que a integral dupla será:
integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

Portanto, .

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