Calcule , com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha , onde é o círculo unitário . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que delimita uma região , a integral de linha é igual à integral dupla . Ou seja:
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

Isso significa que a integral dupla será:

Resposta

Portanto, .

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Calcule , com .
Usando o critério de linhas, verifique para que valores de se tem garantia de que o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema:
.
Calcule a integral de sobre o contorno fechado , formado pelas retas e .
Calcule , com .