Calcule
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha
, onde
é o círculo unitário
. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla
. Ou seja:
Nesse caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Isso significa que a integral dupla será:
Resposta
Portanto,
.