Calcule
, com
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
, onde
é o círculo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nosso cálculo.
Passo 2
O Teorema de Green diz que para uma curva fechada
e uma região
que ela delimita, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a integral de linha é igual a 3 vezes a área da região
, que é o interior do círculo
.
Passo 5
Calculamos a área do círculo. O raio
do círculo é
. A área
de um círculo é dada por:
Passo 6
Multiplicando a área pela constante 3:
Resposta
A integral vale
.