Calcule , com .

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é o círculo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nosso cálculo.

Passo 2

O Teorema de Green diz que para uma curva fechada e uma região que ela delimita, temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Isso significa que a integral de linha é igual a 3 vezes a área da região , que é o interior do círculo .

Passo 5

Calculamos a área do círculo. O raio do círculo é . A área de um círculo é dada por:

Passo 6

Multiplicando a área pela constante 3:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Usando o critério de linhas, verifique para que valores de se tem garantia de que o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema:
.
Resolva equaçãoes exatos:
. equação Bernulli
Calcule , com
Calcule a integral de sobre o contorno fechado , formado pelas retas e .