Calcule ointC(2 y+raiz1+x^2) d x+(5 x-e^y^2) d y, com C: x^2+y^2=4.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha , onde é o círculo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nosso cálculo.

Passo 2

O Teorema de Green diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e uma região P(x, y) = 2y + raiz1 + x^2 Q(x, y) = 5x - e^y^2 que ela delimita, temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (5x - e^y^2) = 5 partial Ppartial y = partialpartial y (2y + raiz1 + x^2) = 2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 5 - 2 ) dA = integral duplaD 3 , dA
Isso significa que a integral de linha é igual a 3 vezes a área da região , que é o interior do círculo .

Passo 5

Calculamos a área do círculo. O raio A = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi do círculo é . A área de um círculo é dada por:

Passo 6

Multiplicando a área pela constante 3:
3 times 4pi = 12pi

Resposta

A integral vale .

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