Calcule , com .

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo de integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha ao longo da curva definida por . Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a área delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral:
Segundo o Teorema de Green, temos:
onde é a região interior à curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, substituímos na integral dupla:
Essa integral representa a área da região . Como é o círculo unitário , a área de é:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule a integral de sobre o contorno fechado , formado pelas retas e .
Calcule , com
Calcule , com .
Seja . O Teorema de Green pode ser aplicado à ?