Calcule ointC(y+x^2 cos (x)) d x+(2 x-y^2 sen(y)) d y, com C: x^2+y^2=1.

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo de integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha ao longo da curva definida por . Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a área delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = y + x^2 cos(x) e Q(x, y) = 2x - y^2 sen(y) na integral:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Segundo o Teorema de Green, temos:
onde é a região interior à curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x - y^2 sen(y)) = 2
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Ppartial y = partialpartial y (y + x^2 cos(x)) = 1

Passo 4

Agora, substituímos na integral dupla:
integral duplaD 1 , dx,dy
Essa integral representa a área da região A = pi r^2 = pi times 1^2 = pi . Como é o círculo unitário , a área de é:

Resposta

O valor da integral é .

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