Calcule
, com
.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo de integrais de linha. A questão pede para calcular a integral de linha ao longo da curva
definida por
. Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a área delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral:
Segundo o Teorema de Green, temos:
onde
é a região interior à curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, substituímos na integral dupla:
Essa integral representa a área da região
. Como
é o círculo unitário
, a área
de
é:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de
sobre o contorno fechado
, formado pelas retas
e
.
Calcule
, com
Calcule
, com
.
Seja
. O Teorema de Green pode ser aplicado à
?