Calcule
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o círculo
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro da integral de linha. Aqui, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região dentro do círculo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região
, que é o círculo de raio 1.
Passo 5
Sabemos que a área de um círculo é
. Como o raio
, a área
é:
Portanto, a integral dupla é:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, com
.
Calcule a integral de
sobre o contorno fechado
, formado pelas retas
e
.
Seja
. O Teorema de Green pode ser aplicado à
?
Calcule
, com
, orientado no sentido anti-horário.