Calcule I=ointC(3 x-y) d x+(x+5 y) d y, com C: x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o círculo . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro da integral de linha. Aqui, temos:
  • ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região dentro do círculo .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dx , dy
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região , que é o círculo de raio 1.

Passo 5

Sabemos que a área de um círculo é A = pi times 1^2 = pi . Como o raio 2 times pi = 2pi , a área é:
Portanto, a integral dupla é:

Resposta

I = 2pi

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