Calcule , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o círculo . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão dentro da integral de linha. Aqui, temos:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região dentro do círculo .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Então, a integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular duas vezes a área da região , que é o círculo de raio 1.

Passo 5

Sabemos que a área de um círculo é . Como o raio , a área é:
Portanto, a integral dupla é:

Resposta

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Seja . O Teorema de Green pode ser aplicado à ?
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