Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos sobre a parábola que estão mais próximos do ponto e calcule a distância.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos na parábola que estão mais pertinho do ponto . Basicamente, nossa missão é minimizar a distância entre qualquer ponto na parábola e o ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Mas pra simplificar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância:
Passo 3
Agora, como estamos na parábola , essa é nossa restrição. Ou seja, qualquer ponto que a gente considerar deve satisfazer .
Passo 4
Usando os multiplicadores de Lagrange, a gente define a função Lagrangiana:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.
Passo 5
Agora, vamos derivar a Lagrangiana em relação a , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Ou ou
Caso :
Da terceira equação:
Da segunda equação: =>
Caso :
Da segunda equação: => => =>
Da terceira equação: =>
Passo 7
Então, os pontos candidatos são:
Passo 8
Vamos calcular a distância de cada ponto até :
Para :
Para :
Para :
Resposta
Os pontos mais próximos de sobre a parábola são e . A distância mínima é .