Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos sobre a parábola que estão mais próximos do ponto e calcule a distância.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar os multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos na parábola que estão mais pertinho do ponto . Basicamente, nossa missão é minimizar a distância entre qualquer ponto na parábola e o ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Mas pra simplificar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância:

Passo 3

Agora, como estamos na parábola , essa é nossa restrição. Ou seja, qualquer ponto que a gente considerar deve satisfazer .

Passo 4

Usando os multiplicadores de Lagrange, a gente define a função Lagrangiana:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 5

Agora, vamos derivar a Lagrangiana em relação a , e e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
    • Ou ou
  2. Caso :
    • Da terceira equação:
    • Da segunda equação: =>
  3. Caso :
    • Da segunda equação: => => =>
    • Da terceira equação: =>

Passo 7

Então, os pontos candidatos são:

Passo 8

Vamos calcular a distância de cada ponto até :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Os pontos mais próximos de sobre a parábola são e . A distância mínima é .

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(1,2 pontos) Questão 4 - Encontre a solução particular do PVI dado por:
(1,0 ponto) Questão 2 - Considerando os tipos de Equações Diferenciais vistos no decorrer do semestre, classifique as equações dadas abaixo.
a)
b)
c)
Determine, se existirem, os pontos de máximo, mínimo e pontos de sela da função
Calcule a integral de na região . (Sugestão: escolha uma ordem de integração adequada.)