Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando uma substituição adequada. A matéria envolvida é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição correta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
Para facilitar a resolução, vamos separar a fração em duas partes. Isso significa dividir o numerador pelo denominador em duas frações:
Agora, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos integrar cada parte separadamente. Começando com a primeira fração:
Sabemos que a integral de em relação a é a função arctan, ou seja:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda fração:
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

Juntando as duas partes integradas, a solução da integral é:

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Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
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Determine de forma que exista um número real tal que .
Calcule a integral trigonométrica.
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Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
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