Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
integral 1+x1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que precisa ser resolvida usando uma substituição adequada. A matéria envolvida é o cálculo de integrais, mais especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição correta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que temos:
integral 1+x1+x^2 , dx
Para facilitar a resolução, vamos separar a fração em duas partes. Isso significa dividir o numerador 1 + x1 + x^2 = 11 + x^2 + x1 + x^2 pelo denominador integral ( 11 + x^2 + x1 + x^2 ) dx em duas frações:
Agora, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos integrar cada parte separadamente. Começando com a primeira fração:
integral 11 + x^2 , dx
Sabemos que a integral de integral 11 + x^2 , dx = tan^-1(x) + C em relação a é a função arctan, ou seja:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda fração:
integral x1 + x^2 , dx
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Então, a derivada de integral x1 + x^2 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a 12 ln|1 + x^2| + C é:
Substituindo na integral:
Voltando para :

Resposta

Juntando as duas partes integradas, a solução da integral é:
tan^-1(x) + 12 ln|1 + x^2| + C

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