Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
integral e^u(1+e^u)^2 d u.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^u(1+e^u)^2 d u. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observe que o denominador é (1 + e^u)^2. Vamos definir:
t = 1 + e^u
Isso simplifica o denominador e facilita o processo de integração.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de t em relação a u para substituir du na integral:
dtdu = e^u Rightarrow du = dte^u

Passo 4

Substituímos t e du na integral original:
integral e^u(1+e^u)^2 d u = integral e^ut^2 cdot dte^u = integral 1t^2 d t
Aqui, e^u no numerador e no denominador se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos integrar 1t^2 em relação a t:
integral 1t^2 d t = integral t^-2 d t = -t^-1 + C = -1t + C
Onde C é a constante de integra��ão.

Passo 6

Finalmente, vamos substituir t de volta para a expressão original em termos de u:
-1t + C = -11 + e^u + C

Resposta

A integral integral e^u(1+e^u)^2 d u é igual a -11 + e^u + C, onde C é a constante de integração.

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