Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
Essa escolha é útil porque a derivada de aparece na integral original.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a para encontrar :
Isso significa que é igual a , o que simplifica nossa integral.

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de acordo com a nova variável :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
Agora, a integral ficou mais simples!

Passo 6

Vamos resolver a integral :
Onde é a constante de integração. Como estamos lidando com limites definidos, podemos calcular diretamente:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral trigonométrica.
.
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.
Calcule a integral usando integração por partes.
.
Calcule a integral imprópria.
.