Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
integral0^pi / 2 cos x sen(sen x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que facilite a integral. Vamos definir:
u = sin x
Essa escolha é útil porque a derivada de aparece na integral original.

Passo 3

Agora, derivamos du = cos x , dx em relação a para encontrar :
Isso significa que é igual a , o que simplifica nossa integral.

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de acordo com a nova variável u = sin 0 = 0 :
  • Quando u = sin(pi2) = 1 :
  • Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^pi / 2 cos x cdot sin(sin x) , dx = integral0^1 sin u , du
Agora, a integral ficou mais simples!

Passo 6

Vamos resolver a integral integral sin u , du = -cos u + C :
Onde é a constante de integração. Como estamos lidando com limites definidos, podemos calcular diretamente:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
-cos u |0^1 = -cos 1 + cos 0
Sabemos que -cos 1 + 1 = 1 - cos 1 , então:

Resposta

A integral vale .

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