Determine m de forma que exista um número real x tal que cos(x) = 4m - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores de de forma que exista um número real que satisfaça a equação . Isso está relacionado ao conteúdo de trigonometria, especificamente sobre a função cosseno e seu intervalo de valores possíveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função cosseno ( ) sempre resulta em valores entre -1 e 1, ou seja:
Para que a equação tenha solução real, o lado direito dessa equação também precisa estar dentro desse intervalo. Então, vamos colocar entre -1 e 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de . Primeiro, adicionamos 1 em todas as partes da desigualdade para eliminar o -1:
Simplificando, fica:

Passo 4

Em seguida, vamos dividir tudo por 4 para isolar :
O que resulta em:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são:

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