Calcule a integral usando integração por partes.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de integração por partes e algumas propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo na integral:
Mas precisamos também expressar em termos de . Como , fica:

Passo 4

Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
Aqui, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Então, a integral torna-se:

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original . Lembrando que , temos:
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de a :
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.
Calcule a integral imprópria.
.
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.