Calcule a integral usando integração por partes.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de integração por partes e algumas propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral:
Mas precisamos também expressar
em termos de
. Como
, fica:
Passo 4
Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
Aqui, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Então, a integral torna-se:
Passo 5
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, temos:
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de
a
:
Sabendo que
e
, substituímos:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.
Calcule a integral imprópria.
.
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.
Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
.