Calcule a integral usando integração por partes.
integral0^pi e^cos x sen(2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de integração por partes e algumas propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
u = cos x
Então, derivando ambos os lados em relação a du = -sen x , dx Rightarrow sen x , dx = -du :
Substituindo na integral:
2 integral0^pi e^u cdot cos x cdot (-du)
Mas precisamos também expressar -2 integral e^u cdot u , du em termos de . Como , fica:

Passo 4

Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
-2 integral u e^u , du
Aqui, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C -2 (u e^u - e^u) + C = -2 u e^u + 2 e^u + C
Aplicando a fórmula:
Então, a integral torna-se:

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original -2 cos x e^cos x + 2 e^cos x + C = 2 e^cos x (1 - cos x) + C . Lembrando que 2 [ e^cos pi (1 - cos pi) - e^cos 0 (1 - cos 0) ] , temos:
2 [ e^-1 (1 - (-1)) - e^1 (1 - 1) ] = 2 [ e^-1 cdot 2 - e^1 cdot 0 ] = 4 e^-1
Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de a :
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados