Calcule a integral fazendo uma substituição apropriada.
integral x sen(x^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . O conteúdo aqui envolve técnicas de integração, especificamente a substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição apropriada. Olhando para a integral , percebemos que dentro da função seno temos u = x^2 . Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x , dx = du2 em termos de . Dividindo ambos os lados da equação por 2:

Passo 5

Agora, substituímos integral x sen(x^2) d x = integral sen(u) cdot du2 e 12 integral sen(u) du na integral original:
Isso fica:

Passo 6

A integral de em relação a 12 integral sen(u) du = 12 (-cos(u)) + C é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos -12 cos(x^2) + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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