Calcule a integral usando integração por partes.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando integração por partes:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Nessa fórmula, escolhemos
e
de maneira que a integral fique mais simples de resolver.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda integral. Sabemos que:
Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos a última integral:
Então, substituindo de volta:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral calculada é: