Calcule a integral usando integração por partes.
integral cos x ln (sen x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando integração por partes:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando a integral é o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Nessa fórmula, escolhemos e de maneira que a integral fique mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar u = ln(sen x) e dv = cos x , dx e du = ddx ln(sen x) , dx = cos xsen x , dx = cot x , dx :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral. Sabemos que:
Então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a última integral:
Então, substituindo de volta:
Onde integral cos x , dx = sen x é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada é:

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