Calcule a integral imprópria.
.
Passo 1
Aqui, a gente vai calcular uma integral imprópria que é dada por
.
Esse tipo de integral envolve limites infinitos, por isso é chamada de imprópria. Para resolver, a gente vai precisar saber sobre integrais de funções com expoentes fracionários e como lidar com limites no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
.
Podemos reescrever isso como
.
Vamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 3
A integral de
em relação a
é uma potência de
. Lembre-se que
, desde que
.
Aqui,
, então:
Passo 4
Simplificando a constante:
Portanto, a integral indefinida é:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até
:
Passo 6
Calculando os valores nos limites:
Primeiro, avaliaremos em
:
E em 3:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, avaliamos o limite conforme
tende ao infinito:
Portanto, a expressão se torna:
Resposta
O valor da integral imprópria é
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