Calcule a integral imprópria.
integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 d x.

Passo 1

Aqui, a gente vai calcular uma integral imprópria que é dada por .
Esse tipo de integral envolve limites infinitos, por isso é chamada de imprópria. Para resolver, a gente vai precisar saber sobre integrais de funções com expoentes fracionários e como lidar com limites no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: .
Podemos reescrever isso como .
Vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

A integral de integral (x-2)^-3/2 , dx = (x-2)^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = (x-2)^-1/2-1/2 + C em relação a é uma potência de . Lembre-se que , desde que .
Aqui, , então:

Passo 4

Simplificando a constante:
(x-2)^-1/2-1/2 = -2 (x-2)^-1/2 = -2raizx-2
Portanto, a integral indefinida é:
- 2raizx-2 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 , dx = limb to infty [ -2raizx-2 ]3^b :

Passo 6

Calculando os valores nos limites:
Primeiro, avaliaremos em -2raizb-2 :
-2raiz3-2 = -21 = -2
E em 3:
limb to infty ( -2raizb-2 + 2 )
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, avaliamos o limite conforme limb to infty -2raizb-2 = 0 tende ao infinito:
0 + 2 = 2
Portanto, a expressão se torna:

Resposta

O valor da integral imprópria é .

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