Calcule a integral imprópria.
.

Passo 1

Aqui, a gente vai calcular uma integral imprópria que é dada por .
Esse tipo de integral envolve limites infinitos, por isso é chamada de imprópria. Para resolver, a gente vai precisar saber sobre integrais de funções com expoentes fracionários e como lidar com limites no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: .
Podemos reescrever isso como .
Vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 3

A integral de em relação a é uma potência de . Lembre-se que , desde que .
Aqui, , então:

Passo 4

Simplificando a constante:
Portanto, a integral indefinida é:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 3 até :

Passo 6

Calculando os valores nos limites:
Primeiro, avaliaremos em :
E em 3:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, avaliamos o limite conforme tende ao infinito:
Portanto, a expressão se torna:

Resposta

O valor da integral imprópria é .

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