Calcule a integral fazendo a substituição dada.
5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observando a integral , notamos que a função está elevada à terceira potência e multiplicada por . Isso sugere que podemos escolher como nossa substituição.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso nos dá uma expressão para em termos de :

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de em relação a :
Então, voltando ao nosso caso:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Explique por que a função é descontínua no número dado .
Determine a derivada da função indicada:

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique que sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).
50.
Calcule a integral indefinida.
12.