Calcule a integral fazendo a substituição dada.
5. integral cos ^3 theta sen theta d theta, theta=cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que simplifica a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observando a integral , notamos que a função está elevada à terceira potência e multiplicada por . Isso sugere que podemos escolher como nossa substituição.

Passo 3

Agora, vamos derivar u = cos theta dudtheta = -sen theta du = -sen theta , dtheta em relação a sen theta , dtheta = -du para encontrar :
Isso nos dá uma expressão para em termos de :

Passo 4

Substituímos integral cos^3 theta , sen theta , dtheta = integral u^3 cdot (sen theta , dtheta) = integral u^3 cdot (-du) = -integral u^3 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de integral u^3 , du = u^44 + C em relação a - integral u^3 , du = -( u^44 ) + C = -u^44 + C :
Então, voltando ao nosso caso:

Passo 6

Finalmente, substituímos -u^44 + C = -(cos theta)^44 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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