Explique por que a função é descontínua no número dado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando
é igual a 1. Queremos entender por que essa função não é contínua em
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de continuidade e saber como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
(ou seja, existe). - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função em
( ).
Passo 3
Vamos verificar se a função está definida em
. Olhando para o enunciado, vemos que quando
,
. Então, a primeira condição tá ok, porque
existe e vale 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Para
, a função é dada por:
Podemos simplificar isso fatorando o numerador e o denominador:
Agora, calculamos o limite:
Então, o limite quando
se aproxima de 1 é
.
Passo 5
Por último, vamos comparar o limite com o valor da função em
:
Como
, a terceira condição para continuidade não é satisfeita.
Resposta
Portanto, a função
é descontínua no número
porque o limite de
quando
se aproxima de 1 é diferente do valor da função em 1.
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