Calcule a integral indefinida.
12. integral sec ^2 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Isso significa que precisamos também calcular , que é a derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando du = 2 , dtheta Rightarrow dtheta = du2 :
integral sec^2 2theta , dtheta = integral sec^2 u cdot du2 = 12 integral sec^2 u , du
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Sabemos que a integral de 12 integral sec^2 u , du = 12 tan u + C em relação a 12 tan (2theta) + C é . Então:
Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral indefinida é:
integral sec^2 2theta , dtheta = 12 tan (2theta) + C

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