Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique que sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C=0 ).
50. integral tg^2 theta sec ^2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que pede para calcular . Estamos no campo do cálculo, mais especificamente trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que integral tan^2 theta sec^2 theta , dtheta = integral (sec^2 theta - 1) sec^2 theta , dtheta . Então, podemos reescrever a integral assim:
integral sec^4 theta , dtheta - integral sec^2 theta , dtheta
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral dudtheta = sec^2 theta Rightarrow du = sec^2 theta , dtheta . Para resolver isso, podemos usar substituição. Vamos deixar . A derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sec^4 theta , dtheta = integral (sec^2 theta)^2 , dtheta = integral (1 + tan^2 theta) sec^2 theta , dtheta = integral (1 + u^2) , du
Agora, integramos em relação a integral (1 + u^2) , du = u + u^33 + C = tan theta + tan^3 theta3 + C :

Passo 5

Não esqueçamos da outra parte da integral que simplificamos inicialmente:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
Então, combinando tudo, temos:
integral tan^2 theta sec^2 theta , dtheta = tan^3 theta3 - tan theta + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral tan^2 theta sec^2 theta , dtheta = tan^3 theta3 - tan theta + C
Onde tan^3 theta3 - tan theta é a constante de integração. Se considerarmos , a primitiva fica:

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