Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique que sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome ).
50.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que pede para calcular . Estamos no campo do cálculo, mais especificamente trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que . Então, podemos reescrever a integral assim:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral . Para resolver isso, podemos usar substituição. Vamos deixar . A derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Agora, integramos em relação a :

Passo 5

Não esqueçamos da outra parte da integral que simplificamos inicialmente:
Então, combinando tudo, temos:

Resposta

A integral indefinida é:
Onde é a constante de integração. Se considerarmos , a primitiva fica:

Exercícios relacionados

Calcule a integral fazendo a substituição dada.
5.
Explique por que a função é descontínua no número dado .
Calcule a integral indefinida.
12.
Derive a funcoō: