Verifique diretamente que F é uma antiderivada de f.
(b) F(x) = x * e^x + pi; f(x) = e^x * (1 + x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se é uma antiderivada de . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de e ver se ela corresponde a . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então podemos separar em duas partes: a derivada de e a derivada de .

Passo 3

Derivando : Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
  • e
  • e
Então:

Passo 4

Agora, derivamos . Como é uma constante, sua derivada é zero:

Passo 5

Juntando tudo, a derivada de é:

Resposta

Sim, é uma antiderivada de , porque .

Exercícios relacionados

Verifique diretamente que F é uma antiderivada de f.
(a) F(x) = (1/3) x^3 + 2 x^2 - x + 2 ; f(x) = x^2 + 4 x - 1
Calcule a integral fazendo a substituição dada.
(a) integral cos (2 x) d x, u=3 x
Seja
f(z)= x^3 y(y-i x)x^6+y^2 & se z neq 0 0 & se z=0
Mostre que f(z)-f(0)z-0 0 para z 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas que lim z 0 f(z)-f(0)z-0 não existe.
Determine Re(e^(i*z^2)).