Calcule a integral da função definida no intervalo usando a definição:

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral da função no intervalo de a . Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos a definição de integral como o limite de uma soma de Riemann. Para resolver, vamos dividir o intervalo em partes menores, calcular a soma das áreas desses pedaços e então aplicar o limite quando o número de divisões tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, chamada de , é dada por:

Passo 3

Em seguida, escolhemos pontos específicos dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos finais direitos, ou seja, o extremo direito de cada subintervalo. O ponto no -ésimo subintervalo é:

Passo 4

Agora, avaliamos a função nesses pontos :

Passo 5

A soma de Riemann fica então:

Passo 6

Vamos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Sabemos que a soma dos primeiros números naturais é:

Passo 7

Substituindo essa fórmula na expressão anterior:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Agora, aplicamos o limite quando tende ao infinito:

Resposta

O valor da integral é .

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