Calcule a integral da função
definida no intervalo
usando a definição:
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral da função
no intervalo de
a
. Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos a definição de integral como o limite de uma soma de Riemann. Para resolver, vamos dividir o intervalo em partes menores, calcular a soma das áreas desses pedaços e então aplicar o limite quando o número de divisões tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, chamada de
, é dada por:
Passo 3
Em seguida, escolhemos pontos específicos dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos finais direitos, ou seja, o extremo direito de cada subintervalo. O ponto
no
-ésimo subintervalo é:
Passo 4
Agora, avaliamos a função
nesses pontos
:
Passo 5
A soma de Riemann fica então:
Passo 6
Vamos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Sabemos que a soma dos primeiros
números naturais é:
Passo 7
Substituindo essa fórmula na expressão anterior:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Agora, aplicamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
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no ponto
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.
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