Calcule a integral da função f(x)=2 x+1 definida no intervalo [0,10] usando a definição:
integrala^b f(x) d x=lim n infty sumi=1^n f(xi) De

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral da função no intervalo de a . Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos a definição de integral como o limite de uma soma de Riemann. Para resolver, vamos dividir o intervalo em partes menores, calcular a soma das áreas desses pedaços e então aplicar o limite quando o número de divisões tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo De em subintervalos iguais. A largura de cada subintervalo, chamada de , é dada por:

Passo 3

Em seguida, escolhemos pontos específicos dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos finais direitos, ou seja, o extremo direito de cada subintervalo. O ponto xi = a + i De no -ésimo subintervalo é:

Passo 4

Agora, avaliamos a função f(xi) = 2xi + 1 = 2 cdot 10in + 1 = 20in + 1 nesses pontos :

Passo 5

A soma de Riemann fica então:
sumi=1^n f(xi) De

Passo 6

Vamos separar essa soma em duas partes para facilitar:
10n ( sumi=1^n 20in + sumi=1^n 1 ) = 10n ( 20n sumi=1^n i + n )
Sabemos que a soma dos primeiros sumi=1^n i = n(n + 1)2 números naturais é:

Passo 7

Substituindo essa fórmula na expressão anterior:
10n ( 20n cdot n(n + 1)2 + n ) = 10n ( 20(n + 1)2 + n ) = 10n (10(n + 1) + n) = 10n (11n + 10)

Passo 8

Simplificando a expressão:
10n cdot 11n + 10n cdot 10 = 110 + 100n

Passo 9

Agora, aplicamos o limite quando limn to infty ( 110 + 100n ) = 110 + 0 = 110 tende ao infinito:

Resposta

O valor da integral é .

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