Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente estudar a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto . Além disso, precisamos fazer um esboço do gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável, especialmente em funções polinomiais como essa.

Passo 2

Primeiro, continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “buracos”, “saltos” ou “asímetrias” nesse ponto. No caso de funções polinomiais, como a nossa, elas são contínuas em todo lugar. Isso significa que não há interrupções no gráfico da função.

Passo 3

Agora, sobre a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da tangente ao gráfico da função existe naquele ponto. Para polinômios, a derivada existe em todos os pontos, então nossa função é diferenciável em .

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico de . Essa é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo). Podemos encontrar as raízes resolvendo , que dá e . O vértice da parábola está no ponto . Então, o gráfico tem suas raízes em 2 e 3, com o ponto mais baixo em 2.5.

Resposta

A função é contínua e diferenciável no ponto . O gráfico é uma parábola que abre para cima, com raízes em e , e um vértice em .

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, determine utilizando a definição de derivada:
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função no ponto indicado:
Calcule a integral da função definida no intervalo usando a definição:
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .