Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente estudar a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
. Além disso, precisamos fazer um esboço do gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e diferenciável, especialmente em funções polinomiais como essa.
Passo 2
Primeiro, continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “buracos”, “saltos” ou “asímetrias” nesse ponto. No caso de funções polinomiais, como a nossa, elas são contínuas em todo lugar. Isso significa que não há interrupções no gráfico da função.
Passo 3
Agora, sobre a diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se a inclinação da tangente ao gráfico da função existe naquele ponto. Para polinômios, a derivada existe em todos os pontos, então nossa função
é diferenciável em
.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico de
. Essa é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo). Podemos encontrar as raízes resolvendo
, que dá
e
. O vértice da parábola está no ponto
. Então, o gráfico tem suas raízes em 2 e 3, com o ponto mais baixo em 2.5.
Resposta
A função
é contínua e diferenciável no ponto
. O gráfico é uma parábola que abre para cima, com raízes em
e
, e um vértice em
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado:
Calcule a integral da função
definida no intervalo
usando a definição:
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.