Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função é contínua e diferenciável no ponto . Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de continuidade e derivadas, e aplicar cálculos de limites e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos calcular o limite esquerdo e o limite direito de quando se aproxima de 2, e comparar com o valor da função nesse ponto.
A função é definida por partes:
E queremos analisar em .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 5

Vamos verificar o valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, e iguais ao valor da função em , podemos concluir que a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função nesse ponto e verificar se elas são iguais.
Primeiro, a derivada pela esquerda ( ):
Então,

Passo 7

Agora, a derivada pela direita ( ):
Então,
Aqui, percebemos que tende ao infinito, ou seja, não existe um valor finito para a derivada pela direita.

Passo 8

Como as derivadas laterais em não são iguais (na verdade, a derivada pela direita não existe de forma finita), concluímos que a função não é diferenciável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico da função possui uma curva quadrática para e uma raiz quadrada para , com um ponto de encontro suave em , mas sem continuidade na inclinação da reta tangente.

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Determine e esboce o domínio da função
g)