Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de continuidade e derivadas, e aplicar cálculos de limites e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, precisamos calcular o limite esquerdo e o limite direito de
quando
se aproxima de 2, e comparar com o valor da função nesse ponto.
A função é definida por partes:
E queremos analisar em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
Passo 5
Vamos verificar o valor da função em
:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, e iguais ao valor da função em
, podemos concluir que a função é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais da função nesse ponto e verificar se elas são iguais.
Primeiro, a derivada pela esquerda (
):
Então,
Passo 7
Agora, a derivada pela direita (
):
Então,
Aqui, percebemos que
tende ao infinito, ou seja, não existe um valor finito para a derivada pela direita.
Passo 8
Como as derivadas laterais em
não são iguais (na verdade, a derivada pela direita não existe de forma finita), concluímos que a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico da função possui uma curva quadrática para
e uma raiz quadrada para
, com um ponto de encontro suave em
, mas sem continuidade na inclinação da reta tangente.
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Calcule a integral da função
definida no intervalo
usando a definição:
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Determine e esboce o domínio da função
g)
g)