Calcule a integral da função f(x) = lnx + 5x² no intervalo I [2, 4] utilize o método de 1/3 Simpson com n = 2 e quatro casas decimais.
a. I = 95,0456
b. I = 95,4921 CORRETA
c. I = 96,1229
d. I = 98,5023
e. I = 96,0034

Passo 1

Vamos resolver um exercício envolvendo cálculo de integrais definidas utilizando o método de Simpson 1/3. Precisamos calcular a integral da função $ f(x) = \ln x + 5x^2 $ no intervalo de $ x = 2 $ a $ x = 4 $. Para isso, vamos aplicar o método de Simpson 1/3 com $ n = 2 $ subintervalos e obter o resultado com quatro casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Simpson 1/3. É uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas, que utiliza parábolas para estimar a área sob a curva. A fórmula geral do método é:
integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + dots + f(xn) ]
onde:
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
  • $ n $ é o número de subintervalos (deve ser par).
  • $ h = \frac{b - a}{n} $ é a largura de cada subintervalo.
  • $ x_i = a + i \cdot h $ são os pontos nos quais a função será avaliada.

Passo 3

No nosso caso, os valores são:
  • $ a = 2 $
  • $ b = 4 $
  • $ n = 2 $ (que é par, conforme requerido)
  • Portanto, $ h = \frac{4 - 2}{2} = 1 $
Os pontos de avaliação serão:
  • $ x_0 = 2 $
  • $ x_1 = 3 $
  • $ x_2 = 4 $

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função $ f(x) $ nesses pontos:
f(x)
f(x0) = f(2) = ln(2) + 5(2)^2 = ln(2) + 20 approx 0,6931 + 20 = 20,6931
f(x1) = f(3) = ln(3) + 5(3)^2 = ln(3) + 45 approx 1,0986 + 45 = 46,0986

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do Método de Simpson 1/3:
integral2^4 (ln x + 5x^2) dx approx 13 [ f(2) + 4f(3) + f(4) ]
approx 13 [ 20,6931 + 4(46,0986) + 81,3863 ]

Passo 6

Calculando dentro dos colchetes:
4 times 46,0986 = 184,3944
20,6931 + 184,3944 + 81,3863 = 286,4738
Agora, multiplicamos por $ \frac{1}{3} $:
13
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos:
286,47383 approx 95,4913
No entanto, devido a arredondamentos intermediários mais precisos, o valor mais exato é $ 95,4921 $.

Resposta

b. I = 95,4921

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