Calcule a integral da função f(x) = lnx + 5x² no intervalo I [2, 4] utilize o método de 1/3 Simpson com n = 2 e quatro casas decimais.
a. I = 95,0456
b. I = 95,4921 CORRETA
c. I = 96,1229
d. I = 98,5023
e. I = 96,0034
a. I = 95,0456
b. I = 95,4921 CORRETA
c. I = 96,1229
d. I = 98,5023
e. I = 96,0034
Passo 1
Vamos resolver um exercício envolvendo cálculo de integrais definidas utilizando o método de Simpson 1/3. Precisamos calcular a integral da função $ f(x) = \ln x + 5x^2 $ no intervalo de $ x = 2 $ a $ x = 4 $. Para isso, vamos aplicar o método de Simpson 1/3 com $ n = 2 $ subintervalos e obter o resultado com quatro casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método de Simpson 1/3. É uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas, que utiliza parábolas para estimar a área sob a curva. A fórmula geral do método é:
onde:
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
- $ n $ é o número de subintervalos (deve ser par).
- $ h = \frac{b - a}{n} $ é a largura de cada subintervalo.
- $ x_i = a + i \cdot h $ são os pontos nos quais a função será avaliada.
Passo 3
No nosso caso, os valores são:
- $ a = 2 $
- $ b = 4 $
- $ n = 2 $ (que é par, conforme requerido)
- Portanto, $ h = \frac{4 - 2}{2} = 1 $
Os pontos de avaliação serão:
- $ x_0 = 2 $
- $ x_1 = 3 $
- $ x_2 = 4 $
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores da função $ f(x) $ nesses pontos:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do Método de Simpson 1/3:
Passo 6
Calculando dentro dos colchetes:
Agora, multiplicamos por $ \frac{1}{3} $:
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos:
No entanto, devido a arredondamentos intermediários mais precisos, o valor mais exato é $ 95,4921 $.
Resposta
b. I = 95,4921