A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas. Em outras palavras, ela nos ajuda a integrar funções compostas. Use a integral por substituição para resolver a integral a seguir x √1-x² dx.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver a integral integral x raiz1 - x^2 , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da técnica de integração por substituição, que é o inverso da regra da cadeia para derivadas. A gente vai precisar identificar uma parte da função para substituir por uma variável mais simples, facilitar a integração e depois voltar para a variável original.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a nossa função, vemos 1 - x^2 dentro da raiz quadrada. Então, vamos definir:
u = 1 - x^2

Passo 3

Agora, precisamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = -2x
Isso significa que:
du = -2x , dx

Passo 4

Queremos expressar x , dx em termos de du. Reorganizando a equação anterior:
x , dx = -12 du

Passo 5

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x raiz1 - x^2 , dx = integral raizu (-12 du)
= -12 integral u^1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2 em relação a u:
integral u^1/2 , du = u^3/232 = 23 u^3/2
Multiplicando pelo -12:
-12 cdot 23 u^3/2 = -13 u^3/2

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para termos de x:
-13 (1 - x^2)^3/2 + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral x raiz1 - x^2 , dx é igual a:
-13 (1 - x^2)^3/2 + C

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