A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas. Em outras palavras, ela nos ajuda a integrar funções compostas. Use a integral por substituição para resolver a integral a seguir x √1-x² dx.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que resolver a integral
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da técnica de integração por substituição, que é o inverso da regra da cadeia para derivadas. A gente vai precisar identificar uma parte da função para substituir por uma variável mais simples, facilitar a integração e depois voltar para a variável original.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a nossa função, vemos
dentro da raiz quadrada. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Reorganizando a equação anterior:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Multiplicando pelo
:
Passo 7
Por fim, substituímos
de volta para termos de
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: