Calcule a integral da função
, onde
é o sólido interior à esfera
e acima do paraboloide
, restrito ao primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral da função
sobre o sólido
, que está dentro da esfera
e acima do paraboloide
, tudo isso restrito ao primeiro octante (onde
,
e
são positivos). Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas porque as superfícies são simétricas em torno do eixo
. Vamos precisar entender como converter para essas coordenadas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em vez de
,
e
, usamos
,
e
, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites de integração. Vamos começar determinando onde a esfera e o paraboloide se intersectam.
A esfera é dada por:
E o paraboloide por:
Substituindo
do paraboloide na equação da esfera:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Substituindo
na esfera:
Vamos resolver essa equação para
:
Fazendo a substituição
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Apenas a solução positiva faz sentido:
Então, a interseção ocorre quando
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
varia de a porque estamos no primeiro octante. -
varia de a . - Para
, na parte inferior temos o paraboloide e na parte superior a esfera. Resolvendo para na esfera:
Passo 5
Vamos expressar a função
em coordenadas cilíndricas:
Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando o
extra do elemento de volume:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo de volta:
Vamos resolver a integral em
:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta na integral:
Resolvendo a integral em
:
Portanto:
Resposta
A integral vale aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral tripla
, onde
Calcule a integral da função
sobre a região delimitada pelos planos
.
Calcule: