Calcule a integral da função , onde é o sólido interior à esfera e acima do paraboloide , restrito ao primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral da função sobre o sólido , que está dentro da esfera e acima do paraboloide , tudo isso restrito ao primeiro octante (onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas porque as superfícies são simétricas em torno do eixo . Vamos precisar entender como converter para essas coordenadas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em vez de , e , usamos , e , onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de integração. Vamos começar determinando onde a esfera e o paraboloide se intersectam.
A esfera é dada por:
E o paraboloide por:
Substituindo do paraboloide na equação da esfera:
Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Substituindo na esfera:
Vamos resolver essa equação para :
Fazendo a substituição :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Apenas a solução positiva faz sentido:
Então, a interseção ocorre quando .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • varia de a porque estamos no primeiro octante.
  • varia de a .
  • Para , na parte inferior temos o paraboloide e na parte superior a esfera. Resolvendo para na esfera:

Passo 5

Vamos expressar a função em coordenadas cilíndricas:
Agora, montamos a integral tripla:
Simplificando o extra do elemento de volume:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo de volta:
Vamos resolver a integral em :
Calculando cada parte:
Simplificando:
Agora, substituindo de volta na integral:
Resolvendo a integral em :
Portanto:

Resposta

A integral vale aproximadamente .

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Calcule a integral tripla , onde
Calcule a integral da função sobre a região delimitada pelos planos .
Calcule: