Calcule a integral da função
sobre a região delimitada pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra calcular a integral da função
sobre a região delimitada pelos planos
,
,
,
,
e
. Isso é um exercício de física matemática envolvendo integrais múltiplas. Vamos precisar entender como separar a integral em partes que são mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma triple integral, ou seja, uma integral tripla que envolve as variáveis
,
e
. A região de integração está bem definida pelos limites dados para cada variável.
Passo 3
A função que vamos integrar é
. Notamos que essa função pode ser separada em partes que dependem apenas de uma variável cada:
-
depende de e . -
depende de .
Passo 4
Vamos então separar a integral tripla em três integrais simples:
Isso funciona porque as variáveis são independentes umas das outras.
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Integral em
:
Integral em
:
Integral em
:
Sabemos que a derivada de é
, então:
Sabemos que a derivada de
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido dado pela região abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
.
O valor médio de uma função
numa região
pode ser calculado por
A temperatura numa placa resfriada
é dada por
em graus Celsius, calcule sua temperatura média.
Calcule a integral tripla
, onde
Calcule a integral da função
, onde
é o sólido interior à esfera
e acima do paraboloide
, restrito ao primeiro octante.