Calcule a integral da função z e^2 sec(x) tg(x) / (1 + y^2) sobre a região delimitada pelos planos x = 0, x = pi / 3, y = 0, y = raiz(3), z = 0, z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede pra calcular a integral da função sobre a região delimitada pelos planos , , , , e . Isso é um exercício de física matemática envolvendo integrais múltiplas. Vamos precisar entender como separar a integral em partes que são mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma triple integral, ou seja, uma integral tripla que envolve as variáveis , e . A região de integração está bem definida pelos limites dados para cada variável.

Passo 3

A função que vamos integrar é . Notamos que essa função pode ser separada em partes que dependem apenas de uma variável cada:
  • depende de e .
  • depende de .

Passo 4

Vamos então separar a integral tripla em três integrais simples:
Isso funciona porque as variáveis são independentes umas das outras.

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Integral em :
Integral em :
Integral em :
Sabemos que a derivada de é , então:

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo:

Resposta

A integral vale .

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