Calcule: lim x pi / 2(tan x)^sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com e quando se aproxima de .
  • . Quando se aproxima de , se aproxima de 1 e se aproxima de 0. Então, cresce sem limite, ou seja, .
  • pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Quando , e , então .
Portanto, estamos lidando com um limite da forma , que é um tipo de indeterminação.

Passo 3

Para resolver esse tipo de indeterminação, uma técnica comum é aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite original de L = limx to pi/2 (tan x)^sin(2x) :
ln L = limx to pi/2 sin(2x) cdot ln(tan x)
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Sabemos que limx to pi/2 sin(2x) cdot ln(tan x) = limx to pi/2 ln(tan x)1sin(2x) e quando . Então, temos um produto da forma , que ainda é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever o produto como uma fração:
Agora, temos uma forma , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a limx to pi/2 sec^2 xtan x-2cos(2x)sin^2(2x) :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
sec^2 xtan x-2cos(2x)sin^2(2x) = sec^2 xtan x cdot sin^2(2x)-2cos(2x) = -sec^2 x cdot sin^2(2x)2 tan x cdot cos(2x)
Sabemos que -(1cos^2 x) cdot sin^2(2x)2 cdot sin xcos x cdot cos(2x) = -sin^2(2x)2 sin x cos(2x) e . Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais. Usamos a identidade sin^2(2x) = (2 sin x cos x)^2 = 4 sin^2 x cos^2 x :
-4 sin^2 x cos^2 x2 sin x cos(2x) = -2 sin x cos^2 xcos(2x)
Substituindo de volta:
-2 cdot 1 cdot 0-1 = 0
Agora, quando :
Substituindo esses valores:

Passo 8

Então, descobrimos que L = e^0 = 1 . Para encontrar , elevamos a ambos os lados:

Resposta

limx pi / 2 (tan x)^sin(2x) = 1

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