Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com e quando se aproxima de .
  • . Quando se aproxima de , se aproxima de 1 e se aproxima de 0. Então, cresce sem limite, ou seja, .
  • pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Quando , e , então .
Portanto, estamos lidando com um limite da forma , que é um tipo de indeterminação.

Passo 3

Para resolver esse tipo de indeterminação, uma técnica comum é aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite original de :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Sabemos que e quando . Então, temos um produto da forma , que ainda é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever o produto como uma fração:
Agora, temos uma forma , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais. Usamos a identidade :
Substituindo de volta:
Agora, quando :
Substituindo esses valores:

Passo 8

Então, descobrimos que . Para encontrar , elevamos a ambos os lados:

Resposta

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