Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
e
quando
se aproxima de
.
-
. Quando se aproxima de , se aproxima de 1 e se aproxima de 0. Então, cresce sem limite, ou seja, . -
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Quando , e , então .
Portanto, estamos lidando com um limite da forma
, que é um tipo de indeterminação.
Passo 3
Para resolver esse tipo de indeterminação, uma técnica comum é aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite original de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 4
Sabemos que
e
quando
. Então, temos um produto da forma
, que ainda é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos reescrever o produto como uma fração:
Agora, temos uma forma
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, precisamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais. Usamos a identidade
:
Substituindo de volta:
Agora, quando
:
Substituindo esses valores:
Passo 8
Então, descobrimos que
. Para encontrar
, elevamos
a ambos os lados:
Resposta
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Calcule a integral da função
, onde
é o sólido interior à esfera
e acima do paraboloide
, restrito ao primeiro octante.
Calcule a integral tripla
, onde