Calcule a integral tripla , onde

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde a região é definida por:
Vamos resolver essa integral usando o conceito de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, que nos permite calcular o volume sob uma superfície em três dimensões.

Passo 2

Vamos começar definindo a ordem de integração. Observando os limites, vemos que varia de 2 a 4, varia de 1 a , e varia de 0 a . Então, a ordem de integração será , , .

Passo 3

A integral tripla pode ser escrita como:
Vamos resolver a integral começando por .

Passo 4

Primeiro, calculamos a integral em relação a :
A antiderivada de em relação a é . Avaliando os limites:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral e prosseguimos com a integração em relação a :
Podemos simplificar para .

Passo 6

A integral de em relação a é . Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral restante e resolvemos em relação a :
A antiderivada de em relação a é . Avaliando os limites:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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Calcule a integral da função sobre a região delimitada pelos planos .
Calcule o volume do sólido dado pela região abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .
Calcule a integral da função , onde é o sólido interior à esfera e acima do paraboloide , restrito ao primeiro octante.
Calcule: