Calcule a integral tripla
, onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla
, onde a região
é definida por:
Vamos resolver essa integral usando o conceito de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, que nos permite calcular o volume sob uma superfície em três dimensões.
Passo 2
Vamos começar definindo a ordem de integração. Observando os limites, vemos que
varia de 2 a 4,
varia de 1 a
, e
varia de 0 a
. Então, a ordem de integração será
,
,
.
Passo 3
A integral tripla pode ser escrita como:
Vamos resolver a integral começando por
.
Passo 4
Primeiro, calculamos a integral em relação a
:
A antiderivada de
em relação a
é
. Avaliando os limites:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral e prosseguimos com a integração em relação a
:
Podemos simplificar
para
.
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral restante e resolvemos em relação a
:
A antiderivada de
em relação a
é
. Avaliando os limites:
Resposta
A integral tripla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral da função
sobre a região delimitada pelos planos
.
Calcule o volume do sólido dado pela região abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
.
Calcule a integral da função
, onde
é o sólido interior à esfera
e acima do paraboloide
, restrito ao primeiro octante.
Calcule: