Calcule a integral tripla integral triplaE 2 x y z d V, onde
E=(x, y, z) mid 2 <= y <= 4,1 <= x <= e^y^2 0 <= z <=(x y)^-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla integral triplaE 2 x y z , dV, onde a região E é definida por:
E = (x, y, z) mid 2 <= y <= 4, 1 <= x <= e^y^2, 0 <= z <= 1x y
Vamos resolver essa integral usando o conceito de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, que nos permite calcular o volume sob uma superfície em três dimensões.

Passo 2

Vamos começar definindo a ordem de integração. Observando os limites, vemos que y varia de 2 a 4, x varia de 1 a e^y^2, e z varia de 0 a 1x y. Então, a ordem de integração será z, x, y.

Passo 3

A integral tripla pode ser escrita como:
integraly=2^4 integralx=1^e^y^2 integralz=0^1x y 2 x y z , dz , dx , dy
Vamos resolver a integral começando por z.

Passo 4

Primeiro, calculamos a integral em relação a z:
integral0^1x y 2 x y z , dz
A antiderivada de 2 x y z em relação a z é x y z^2. Avaliando os limites:
x y ( (1x y)^2 - 0^2 ) = x y ( 1x^2 y^2 ) = 1x y

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral e prosseguimos com a integração em relação a x:
integral1^e^y^2 1x y , dx
Podemos simplificar 1x y para 1y cdot 1x.

Passo 6

A integral de 1x em relação a x é ln|x|. Portanto:
1y ( ln e^y^2 - ln 1 ) = 1y ( y^2 - 0 ) = y^2y = y

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral restante e resolvemos em relação a y:
integral2^4 y , dy
A antiderivada de y em relação a y é y^22. Avaliando os limites:
4^22 - 2^22 = 162 - 42 = 8 - 2 = 6

Resposta

A integral tripla é igual a 6.

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