integral sen(2 y) cos (2 y) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral: . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de produtos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma o produto de sin(a) cos(a) = sin(2a)2 e sin(2y) cos(2y) = sin(4y)2 em uma única função. A identidade é:
No nosso caso, , então substituindo na identidade:

Passo 3

Agora, substituímos essa identidade na nossa integral original:
integral sin(2y) cos(2y) , dy = integral sin(4y)2 , dy
Podemos tirar o 12 integral sin(4y) , dy da integral:

Passo 4

Vamos integrar integral sin(k y) , dy = -cos(k y)k + C em relação a integral sin(4y) , dy = -cos(4y)4 + C . A integral de é:
Aqui, , então:

Passo 5

Voltando à nossa expressão:
12 ( -cos(4y)4 ) + C = -cos(4y)8 + C

Resposta

A integral de -cos(4y)8 + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados