Calcule o volume do sólido dado pela região abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide , fora do cilindro e acima do plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que temos simetria circular nas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Isso simplifica nossa área de integração, especialmente porque estamos lidando com círculos e cilindros.

Passo 3

O paraboloide dado é (substituindo por ). O plano é . Então, a altura do sólido em cada ponto é:
Isso representa a “altura” do sólido em termos de .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como o sólido está fora do cilindro e o paraboloide corta o plano quando , ou seja, , nossos limites serão:
éé
Isso cobre toda a região circular fora do cilindro até a borda do paraboloide.

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Aqui, é a altura e é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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