Calcule o volume do sólido dado pela região abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
, fora do cilindro
e acima do plano
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que temos simetria circular nas funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Isso simplifica nossa área de integração, especialmente porque estamos lidando com círculos e cilindros.
Passo 3
O paraboloide dado é
(substituindo
por
). O plano é
. Então, a altura do sólido em cada ponto
é:
Isso representa a “altura” do sólido em termos de
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Como o sólido está fora do cilindro
e o paraboloide corta o plano
quando
, ou seja,
, nossos limites serão:
Isso cobre toda a região circular fora do cilindro até a borda do paraboloide.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume:
Aqui,
é a altura e
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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.
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