Calcule a integral:
(j) integral1^5 xe^x d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral definida de de 1 a 5. Pra resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Ou seja, a gente escolhe partes da nossa função para serem e , calcula e , e então aplica a fórmula.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
  • (porque ao derivar simplifica)

Passo 4

Agora, vamos calcular du = dx e v = integral e^-x dx = -e^-x :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x e^-x dx = uv - integral v du = (-x e^-x) - integral (-e^-x) dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
- x e^-x + integral e^-x dx = - x e^-x - e^-x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a 5. Então, substituímos os limites na antiderivada:
[ - e^-x (x + 1) ]1^5 = ( - e^-5 (5 + 1) ) - ( - e^-1 (1 + 1) )

Passo 8

Simplificando os termos:
-6 e^-5 + 2 e^-1

Resposta

A integral é igual a .

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