Calcule a integral g(x)=integral0^x^4 cos ^2(theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral . Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 . A identidade que vamos usar é:
Essa identidade é útil porque simplifica a integral, tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 3

Agora, substituímos g(x) = integral0^x^4 1 + cos(2theta)2 , dtheta na nossa integral pela expressão da identidade trigonométrica:
g(x) = 12 integral0^x^4 (1 + cos(2theta)) , dtheta
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos agora separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
g(x) = 12 ( integral0^x^4 1 , dtheta + integral0^x^4 cos(2theta) , dtheta )
Isso fica:
g(x) = 12 ( [ theta ]0^x^4 + [ sin(2theta)2 ]0^x^4 )

Passo 5

Vamos agora calcular cada uma das integrais:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de g(x) = 12 ( x^4 + sin(2x^4)2 ) :
g(x) = x^42 + sin(2x^4)4
Isso simplifica para:

Resposta

A integral é igual a .

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