Dada f(x) = (x^3 - 6 x^2 + x - 2) * (raiz_cubica(x^2) + 1 / x^2), o valor de f'(1) é:
a) -8
b) 1/2
c) -5 / 2
d) 3 / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função dada por e precisamos encontrar o valor da derivada dessa função no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar o Regra do Produto, que é uma técnica de derivação para multiplicação de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções separadamente. Vamos começar com :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
Derivando termo a termo:
Podemos reescrever para facilitar:

Passo 5

Agora que temos , , e , aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Primeiro, substituímos nas expressões:

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão de :
Calculando cada termo:

Resposta

O valor de é -8.

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