Determine uma região cuja a área éigual ao limite dado
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar uma região cuja área é igual a um limite dado. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites e somas de Riemann, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral, que representa a área da região que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
Essa expressão é uma soma que, conforme
cresce, se aproxima de uma integral. Isso é o que chamamos de soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo-a em retângulos.
Passo 3
Vamos identificar os componentes dessa soma de Riemann:
-
: Esse é o largura de cada retângulo, que chamamos de . -
: Essa é a altura de cada retângulo, que é a função que estamos integrando avaliada em um ponto específico.
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com a integral. Sabemos que:
Comparando com a nossa soma:
-
- Função
-
- Intervalo de integração de
a
Passo 5
Então, a integral que representa a área que estamos procurando é:
Essa integral calcula a área sob a curva da função
desde
até
.
Passo 6
Para visualizar, imagine o gráfico de
. A região cuja área queremos é a parte desse gráfico que está entre
e
, debaixo da curva.
Resposta
A região cuja área é igual ao limite dado é a área sob a curva
no intervalo de
a
, ou seja: