Determine uma região cuja a área éigual ao limite dado
lim n infty sumi=1^n 3n raiz1+3 in

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar uma região cuja área é igual a um limite dado. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites e somas de Riemann, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa soma em uma integral, que representa a área da região que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
lim n infty sumi=1^n 3n raiz1+3 in
Essa expressão é uma soma que, conforme cresce, se aproxima de uma integral. Isso é o que chamamos de soma de Riemann, que é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo-a em retângulos.

Passo 3

Vamos identificar os componentes dessa soma de Riemann:
  • : Esse é o largura de cada retângulo, que chamamos de .
  • : Essa é a altura de cada retângulo, que é a função que estamos integrando avaliada em um ponto específico.

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com a integral. Sabemos que:
limn to infty sumi=1^n f(xi) De
Comparando com a nossa soma:
  • Função
  • Intervalo de integração de a

Passo 5

Então, a integral que representa a área que estamos procurando é:
integral0^3 raiz1 + x , dx
Essa integral calcula a área sob a curva da função desde até .

Passo 6

Para visualizar, imagine o gráfico de . A região cuja área queremos é a parte desse gráfico que está entre e , debaixo da curva.

Resposta

A região cuja área é igual ao limite dado é a área sob a curva integral0^3 raiz1 + x , dx no intervalo de a , ou seja:

Exercícios relacionados