Calcule a integral

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante da trigonometria que nos permite expressar de uma forma mais fácil de integrar. A identidade é:
Essa identidade é útil porque converte o quadrado do cosseno em termos de uma função de frequência dobrada, o que é mais simples de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original pela expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
A primeira integral é a integral de uma constante, e a segunda é uma integral de uma função trigonométrica.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Integração da constante:
  1. Integração da função trigonométrica:

Resposta

Portanto, a integral é dada por:

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Calcule a integral
( ) O volume máximo da caixa ocorrerá quando .
Utilize as regras de derivação para calcular as funções derivadas das seguintes funções: