Calcule a integral g(x)=integral0^x^4 cos ^2(theta) d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante da trigonometria que nos permite expressar cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 de uma forma mais fácil de integrar. A identidade é:
Essa identidade é útil porque converte o quadrado do cosseno em termos de uma função de frequência dobrada, o que é mais simples de integrar.

Passo 3

Agora, vamos substituir g(x) = integral0^x^4 1 + cos(2theta)2 , dtheta na integral original pela expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
g(x) = 12 integral0^x^4 1 , dtheta + 12 integral0^x^4 cos(2theta) , dtheta
A primeira integral é a integral de uma constante, e a segunda é uma integral de uma função trigonométrica.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Integração da constante:
12 integral0^x^4 1 , dtheta = 12 [ theta ]0^x^4 = 12 (x^4 - 0) = x^42
  1. Integração da função trigonométrica:
12 integral0^x^4 cos(2theta) , dtheta = 12 [ sin(2theta)2 ]0^x^4 = 14 (sin(2x^4) - sin(0)) = sin(2x^4)4

Resposta

Portanto, a integral é dada por:
g(x) = x^42 + sin(2x^4)4

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