( ) O volume máximo da caixa ocorrerá quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está dizendo: “O volume máximo da caixa ocorrerá quando
.” Isso está relacionado ao estudo de otimização em matemática, onde queremos encontrar o valor de uma variável que maximiza (ou minimiza) uma determinada função. No nosso caso, queremos maximizar o volume de uma caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções, derivadas e otimização.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o volume da caixa depende de
. Suponhamos que a caixa seja feita de um material quadrado com lado de comprimento
, e que cortamos quadrados de lado
de cada canto antes de dobrar as laterais para formar a caixa. Assim, o volume
da caixa pode ser expresso em função de
.
A fórmula para o volume será:
Aqui,
é o comprimento e a largura da base da caixa após os cortes, e
é a altura.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso nos dará os pontos críticos.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, derivamos em relação a
:
Passo 4
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos dividir toda a equação por 4 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática para
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Para maximizar o volume, descartamos a solução
, pois resultaria em volume zero. Portanto, o valor que maximiza o volume é:
Resposta
Não, o volume máximo da caixa não ocorre quando
. O valor correto de
para maximizar o volume é
, onde
é o comprimento original do lado do material utilizado.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
Determine uma região cuja a área éigual ao limite dado
Utilize as regras de derivação para calcular as funções derivadas das seguintes funções:
( ) A expressão que modela a área
da superfície da caixa é
.