( ) O volume máximo da caixa ocorrerá quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está dizendo: “O volume máximo da caixa ocorrerá quando .” Isso está relacionado ao estudo de otimização em matemática, onde queremos encontrar o valor de uma variável que maximiza (ou minimiza) uma determinada função. No nosso caso, queremos maximizar o volume de uma caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de funções, derivadas e otimização.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o volume da caixa depende de . Suponhamos que a caixa seja feita de um material quadrado com lado de comprimento , e que cortamos quadrados de lado de cada canto antes de dobrar as laterais para formar a caixa. Assim, o volume da caixa pode ser expresso em função de .
A fórmula para o volume será:
Aqui, é o comprimento e a largura da base da caixa após os cortes, e é a altura.

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso nos dará os pontos críticos.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 4

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Podemos dividir toda a equação por 4 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática para , usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Para maximizar o volume, descartamos a solução , pois resultaria em volume zero. Portanto, o valor que maximiza o volume é:

Resposta

Não, o volume máximo da caixa não ocorre quando . O valor correto de para maximizar o volume é , onde é o comprimento original do lado do material utilizado.

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( ) A expressão que modela a área da superfície da caixa é .