Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
r)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função
. Isso quer dizer que precisamos calcular como a função muda em relação a
e a
separadamente. Para isso, vamos usar algumas regras de cálculo como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é um produto de duas partes:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos derivar cada parte:
- Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
- Derivada de
em relação a :
Também usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo as derivadas encontradas:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do produto:
Onde
e
.
Passo 6
Derivamos cada parte:
- Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia.
- Derivada de
em relação a :
Usamos a regra da cadeia.
Passo 7
Aplicamos a regra do produto:
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
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p)
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m)
m)
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u)
u)
Calcule a integral
. Se necessário, utilize um caminho
apropriado. Justifique sua resposta.