Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
r)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais da função . Isso quer dizer que precisamos calcular como a função muda em relação a e a separadamente. Para isso, vamos usar algumas regras de cálculo como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é um produto de duas partes: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
  1. Derivada de em relação a :
Também usamos a regra da cadeia. A derivada de é .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto:
Substituindo as derivadas encontradas:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra do produto:
Onde e .

Passo 6

Derivamos cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia.
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia.

Passo 7

Aplicamos a regra do produto:
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Calcule a integral . Se necessário, utilize um caminho apropriado. Justifique sua resposta.