Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
u)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do estudo das derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia. Mas calma, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando fazemos uma derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes. Aqui, vamos considerar
como uma constante.
A função
é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
. Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Agora, vamos identificar
e
:
Vamos derivar
e
em relação a
:
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Novamente, usamos a regra do quociente:
Onde:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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r)
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p)
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Calcule a integral
. Se necessário, utilize um caminho
apropriado. Justifique sua resposta.
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