Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do estudo das derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e a regra da cadeia. Mas calma, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando fazemos uma derivada parcial, tratamos as outras variáveis como constantes. Aqui, vamos considerar como uma constante.
A função é uma fração onde o numerador é e o denominador é . Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Agora, vamos identificar e :
Vamos derivar e em relação a :
Para , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde :
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Novamente, usamos a regra do quociente:
Onde:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a usando a regra da cadeia:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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r)
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p)
Calcule a integral . Se necessário, utilize um caminho apropriado. Justifique sua resposta.
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