Calcule a integral indefinida.
33. integral(t sen t i+j) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral indefinida da expressão vetorial . Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais e vamos precisar usar a regra da integração por partes para a parte que envolve .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral nos seus componentes. A expressão tem duas partes: uma na direção do eixo integral(t sen t , i) , dt + integral j , dt e outra na direção do eixo . Então, podemos integrar cada componente separadamente:

Passo 3

Vamos começar com a integração do componente . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Escolhemos e . Então, calculamos e (porque a integral de é ).

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Então, a integral de é .

Passo 5

Agora, vamos integrar o componente integral j , dt = t , j + C . A integral de em relação a é simplesmente:
Aqui, é a constante de integração vetorial.

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida é:

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