Encontre todas as derivadas parciais de das funç̧ōes nos exercícios 41-46.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar todas as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É basicamente a derivada de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos duas variáveis: e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , que denotamos por . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo separadamente:
  • porque a derivada de em relação a é 1.
  • porque é tratado como constante e a derivada de uma constante é 0.
  • porque é uma constante e a derivada de é 1, então multiplicamos pelo coeficiente .
Somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Aqui, tratamos como uma constante.
Derivando a função:

Passo 6

Derivando cada termo:
  • porque é constante.
  • porque a derivada de em relação a é 1.
  • porque é uma constante e a derivada de é 1, então multiplicamos pelo coeficiente .
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida.
33.
Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
24.
Determine se possui parametrização lisa, isto é, se é contínua .
3.