Calcule a integral indefinida.
34.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . Aqui, estamos lidando com uma integral de vetor, que consiste em duas partes: a primeira componente é e a segunda é . Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente usando técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira componente: . A integração por partes é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções, como aqui. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, escolhemos:
  • (então, )
  • (então, )
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos integrar a segunda componente: . Novamente, usamos a integração por partes. Escolhemos:
  • (então, )
  • (então, )
Aplicando a fórmula:

Resposta

Juntando as duas integrais que resolvemos, a integral indefinida dada é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais a seguir:
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que , pode nos levar a uma solução.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.