Calcule a integral indefinida.
34. integrallang<= t e^t, ln trang<= d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . Aqui, estamos lidando com uma integral de vetor, que consiste em duas partes: a primeira componente é e a segunda é . Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente usando técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a primeira componente: integral u , dv = uv - integral v , du . A integração por partes é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções, como aqui. A fórmula da integração por partes é:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C1
Aqui, escolhemos:
  • integral t e^t dt = e^t(t - 1) + C1 (então, )
  • (então, )
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos integrar a segunda componente: integral ln t , dt = t ln t - integral t cdot 1t dt = t ln t - integral 1 , dt = t ln t - t + C2 . Novamente, usamos a integração por partes. Escolhemos:
  • (então, )
  • (então, )
Aplicando a fórmula:

Resposta

Juntando as duas integrais que resolvemos, a integral indefinida dada é:
integrallang<= t e^t, ln trang<= dt = lang<= e^t(t - 1) + C1, t ln t - t + C2 rang<=
Onde e são constantes de integração.

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