Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial e precisa saber como classificá-la. O enunciado é:
Vamos identificar se essa equação é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cada tipo de equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é separável.
Uma equação é separável se a gente consegue separar os termos que envolvem dos que envolvem , ou seja, escrever tudo com de um lado e do outro lado da equação.
Vamos tentar rearranjar a nossa equação:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos trazer o termo com para um lado:
Parece que não conseguimos separar diretamente os termos de e . Então, essa equação não é separável.

Passo 3

Agora, vamos checar se a equação é exata.
Uma equação diferencial na forma é exata se satisfaz a condição:
Primeiro, vamos colocar nossa equação na forma :
Rearranjando:
Aqui, e .
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Vamos ver se a equação é linear.
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
Nossa equação reescrita é:
Aqui, e . Como está na forma padrão, a equação é linear.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea.
Uma equação é homogênea se todos os termos são do mesmo grau quando consideramos e . Outra forma de ver isso é se a substituição simplifica a equação.
Vamos tentar:
Se deixarmos , então e .
Substituindo na equação:
Como conseguimos simplificar usando , a equação é homogênea.

Passo 6

Por fim, vamos ver se a equação é de Bernoulli.
Uma equação de Bernoulli tem a forma:
Vamos comparar com nossa equação reescrita:
Aqui, o lado direito é , que podemos pensar como . Como a equação se ajusta à forma de Bernoulli com , tecnicamente, ela pode ser considerada uma equação de Bernoulli. Porém, geralmente, Bernoulli é mais útil para , então essa classificação é um pouco forçada.

Resposta

A equação diferencial
é exata, linear, homogênea e de Bernoulli.

Exercícios relacionados

Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.
Seja . Determine
(a).
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Calcule a integral indefinida.
34.