Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial e precisa saber como classificá-la. O enunciado é:
Vamos identificar se essa equação é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cada tipo de equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação é separável.
Uma equação é separável se a gente consegue separar os termos que envolvem
dos que envolvem
, ou seja, escrever tudo com
de um lado e
do outro lado da equação.
Vamos tentar rearranjar a nossa equação:
Podemos reescrever isso como:
Agora, vamos trazer o termo com
para um lado:
Parece que não conseguimos separar diretamente os termos de
e
. Então, essa equação não é separável.
Passo 3
Agora, vamos checar se a equação é exata.
Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfaz a condição:
Primeiro, vamos colocar nossa equação na forma
:
Rearranjando:
Aqui,
e
.
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Vamos ver se a equação é linear.
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
Nossa equação reescrita é:
Aqui,
e
. Como está na forma padrão, a equação é linear.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea.
Uma equação é homogênea se todos os termos são do mesmo grau quando consideramos
e
. Outra forma de ver isso é se a substituição
simplifica a equação.
Vamos tentar:
Se deixarmos
, então
e
.
Substituindo na equação:
Como conseguimos simplificar usando
, a equação é homogênea.
Passo 6
Por fim, vamos ver se a equação é de Bernoulli.
Uma equação de Bernoulli tem a forma:
Vamos comparar com nossa equação reescrita:
Aqui, o lado direito é
, que podemos pensar como
. Como a equação se ajusta à forma de Bernoulli com
, tecnicamente, ela pode ser considerada uma equação de Bernoulli. Porém, geralmente, Bernoulli é mais útil para
, então essa classificação é um pouco forçada.
Resposta
A equação diferencial
é exata, linear, homogênea e de Bernoulli.
Exercícios relacionados
Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.
Seja
. Determine
(a).
(a).
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Calcule a integral indefinida.
34.
34.