Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para classificar:
Nosso objetivo aqui é identificar se essa equação é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cada um desses tipos e ver qual se encaixa melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação em um formato mais familiar. Vamos dividir ambos os lados por para isolar :
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
Comparando com o que temos:
Como conseguimos escrever a equação nessa forma, ela é uma equação linear.

Passo 4

Vamos ver se é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita como:
Na nossa forma atual:
Ou seja:
Aqui, as variáveis e não estão separadas de um jeito que a gente consiga mover tudo referente a para um lado e tudo referente a para o outro. Então, não é separável.

Passo 5

Vamos checar se é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos e . Olhando para:
Os termos e têm graus diferentes (um é de primeiro grau em e o outro é constante). Além disso, o denominador também não balanceia isso. Portanto, não é homogênea.

Passo 6

Por último, vamos ver se é do tipo Bernoulli. A equação de Bernoulli tem a forma:
No nosso caso:
Aqui, (já que o termo está na potência 1, que é multiplicando o lado direito). Portanto, essa equação também é do tipo de Bernoulli porque ela se encaixa na forma geral quando consideramos .

Resposta

A equação diferencial dada é linear e do tipo de Bernoulli.

Exercícios relacionados

As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que , pode nos levar a uma solução.
Calcule a integral indefinida.
34.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Resolva as equações diferenciais a seguir: