Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para classificar:
Nosso objetivo aqui é identificar se essa equação é separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cada um desses tipos e ver qual se encaixa melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação em um formato mais familiar. Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
Comparando com o que temos:
Como conseguimos escrever a equação nessa forma, ela é uma equação linear.
Passo 4
Vamos ver se é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita como:
Na nossa forma atual:
Ou seja:
Aqui, as variáveis
e
não estão separadas de um jeito que a gente consiga mover tudo referente a
para um lado e tudo referente a
para o outro. Então, não é separável.
Passo 5
Vamos checar se é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
e
. Olhando para:
Os termos
e
têm graus diferentes (um é de primeiro grau em
e o outro é constante). Além disso, o denominador
também não balanceia isso. Portanto, não é homogênea.
Passo 6
Por último, vamos ver se é do tipo Bernoulli. A equação de Bernoulli tem a forma:
No nosso caso:
Aqui,
(já que o termo
está na potência 1, que é
multiplicando o lado direito). Portanto, essa equação também é do tipo de Bernoulli porque ela se encaixa na forma geral quando consideramos
.
Resposta
A equação diferencial dada é linear e do tipo de Bernoulli.
Exercícios relacionados
As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que
, pode nos levar a uma solução.
Calcule a integral indefinida.
34.
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Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Resolva as equações diferenciais a seguir: