Resolva as equações diferenciais a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar o método apropriado. A boa notícia é que essa equação é exata, o que facilita bastante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Podemos colocar tudo no mesmo lado para ter:
Aqui, identificamos duas funções:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Mas sabemos que:
Portanto:
Simplificando, temos:

Passo 6

Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.
Calcule a integral indefinida.
34.
As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que , pode nos levar a uma solução.