Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar o método apropriado. A boa notícia é que essa equação é exata, o que facilita bastante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais familiar. Podemos colocar tudo no mesmo lado para ter:
Aqui, identificamos duas funções:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Mas sabemos que:
Portanto:
Simplificando, temos:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Determine por inspeção, pelo menos uma solução da equação diferencial a seguir.
Calcule a integral indefinida.
34.
34.
As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que
, pode nos levar a uma solução.