As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que
, pode nos levar a uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que não é exata, mas com umas manobras inteligentes a gente consegue chegar numa solução. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais e integrais. Precisaremos usar algumas propriedades de derivadas e integrais, além de rearranjar a equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação original:
Nossa missão é transformar essa equação em algo que possamos integrar facilmente. Para isso, vamos rearranjar os termos como sugerido:
Passo 3
Agora, observe que no numerador temos
. Isso se parece muito com a derivada de
. De fato, sabemos que:
Isso é útil porque podemos substituir
por
na nossa equação.
Passo 4
Substituindo na equação rearranjada, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Isso pode ser reescrito como:
Porque
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, vamos isolar
multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante
para apenas
(já que é uma constante arbitrária):
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida.
34.
34.
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.