As equações diferenciais são resolvidas algumas vezes por meio de uma ideia engenhosa. Eis um pequeno exercício de engenhosidade: embora a equação diferencial
não seja exata, mostre que utilizando o rearranjo:
e a observação de que , pode nos levar a uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que não é exata, mas com umas manobras inteligentes a gente consegue chegar numa solução. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais e integrais. Precisaremos usar algumas propriedades de derivadas e integrais, além de rearranjar a equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação original:
Nossa missão é transformar essa equação em algo que possamos integrar facilmente. Para isso, vamos rearranjar os termos como sugerido:

Passo 3

Agora, observe que no numerador temos . Isso se parece muito com a derivada de . De fato, sabemos que:
Isso é útil porque podemos substituir por na nossa equação.

Passo 4

Substituindo na equação rearranjada, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Isso pode ser reescrito como:
Porque .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos isolar multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante para apenas (já que é uma constante arbitrária):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Calcule a integral indefinida.
34.
Resolva as equações diferenciais a seguir:
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.
Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas delas poderão ser de mais de um tipo. Não é necessário resolver as equações.