Encontre a solução da EDO
e^x y dy/dx = e^(-y) + e^(-2 x - y)
que passa pela origem (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
E precisamos encontrar a solução que passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0,0). Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente integrais e técnicas de separação de variáveis. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Queremos isolar :

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Podemos fatorar no numerador:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado. Multiplicamos ambos os lados por :
Agora, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções cujas derivadas sejam os lados da equação.
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a y:
E o lado direito em relação a x:

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Então:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Isso se deve a:
Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Juntando as integrações dos dois lados, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial que a solução passa pela origem (0,0). Substituímos x = 0 e na equação:
Resolvendo para C:

Passo 10

Agora, substituímos o valor de C de volta na equação:
Podemos simplificar:

Resposta

A solução da EDO que passa pela origem (0,0) é dada implicitamente por:

Exercícios relacionados