Encontre a solução da EDO
que passa pela origem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
E precisamos encontrar a solução que passa pela origem, ou seja, pelo ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente integrais e técnicas de separação de variáveis. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Queremos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito da equação. Podemos fatorar
no numerador:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções cujas derivadas sejam os lados da equação.
Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a
:
E o lado direito em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Então:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral do lado direito:
Isso se deve a:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Juntando as integrações dos dois lados, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial que a solução passa pela origem
. Substituímos
e
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora, substituímos o valor de
de volta na equação:
Podemos simplificar:
Resposta
A solução da EDO que passa pela origem
é dada implicitamente por: