Encontre a equação geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer a teoria sobre EDOs homogêneas e não homogêneas, além de técnicas para encontrar soluções gerais dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, criamos a equação característica substituindo
por
e
por 1:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar. Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A equação geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.