Encontre a equação geral da EDO
y''(x) + 9y(x) = e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer a teoria sobre EDOs homogêneas e não homogêneas, além de técnicas para encontrar soluções gerais dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, criamos a equação característica substituindo por e por 1:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que precisamos determinar. Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo , e na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A equação geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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