Calcule a integral indefinida.
$(b)
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral indefinida de
. Esse tipo de integral envolve funções polinomiais e radicais, então vamos usar a técnica de substituição para facilitar a resolução. Precisamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar o radical
. Vamos definir:
Isso significa que:
Mas também precisamos expressar
em termos de
. Como
, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
. Então, expandimos:
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a integração:
Passo 4
Vamos integrar cada termo individualmente. A regra básica para integrar
é:
Aplicando isso aos nossos termos:
E para o segundo termo:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes integradas:
Lembrando que
, substituímos de volta para expressar a resposta em termos de
:
Resposta
Exercícios relacionados
Derive cada função dos exercícios a seguir
Considere
. Para calcular
, Sócrates definiu
e
. Concluiu que
. Calculou
e
. Usando a Regra da cadeia, multiplicou os dois valores para obter
. Aristóteles, que também queria calcular
, escreveu:
e, portanto,
para todo
. Quem acertou? Quem errou e por quê?
Simplifique as expressões algébricas abaixo:
.
7
Ache constantes e
tais que:
(a) ;
7
Ache constantes
(a)
Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros,
horas após o escoamento é dada por
. Determinar:
b) A taxa de variação do volume de água na cisterna após 8 horas.
b) A taxa de variação do volume de água na cisterna após 8 horas.