Calcule a integral indefinida.
$(b)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de . Esse tipo de integral envolve funções polinomiais e radicais, então vamos usar a técnica de substituição para facilitar a resolução. Precisamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar o radical . Vamos definir:
Isso significa que:
Mas também precisamos expressar em termos de . Como , temos:
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que . Então, expandimos:
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a integração:

Passo 4

Vamos integrar cada termo individualmente. A regra básica para integrar é:
Aplicando isso aos nossos termos:
E para o segundo termo:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes integradas:
Lembrando que , substituímos de volta para expressar a resposta em termos de :

Resposta

Exercícios relacionados

Derive cada função dos exercícios a seguir
Considere . Para calcular , Sócrates definiu e . Concluiu que . Calculou e . Usando a Regra da cadeia, multiplicou os dois valores para obter . Aristóteles, que também queria calcular , escreveu: e, portanto, para todo . Quem acertou? Quem errou e por quê?
Simplifique as expressões algébricas abaixo: .
7
Ache constantes e tais que:
(a) ;
Uma cisterna está sendo esvaziada para limpeza. A quantidade de água na cisterna, em litros, horas após o escoamento é dada por . Determinar:
b) A taxa de variação do volume de água na cisterna após 8 horas.