Simplifique as expressões algébricas abaixo: 1/(x+a) - 1/(x+b).
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Ache constantes A e B tais que:
(a) (4x - 5) / ((x + 1)(x - 2)) = A / (x + 1) + B / (x - 2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a seguinte expressão algébrica:
Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes e . Isso faz parte do estudo de frações parciais, que é uma técnica muito útil para decompor expressões racionais em partes mais simples. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das frações parciais e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações do lado direito em uma única fração. Para isso, precisamos de um denominador comum, que no caso é o produto . Então temos:

Passo 3

Agora, igualamos essa expressão com a do lado esquerdo da equação original:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:

Passo 4

Vamos expandir o lado direito da equação:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Para os termos com :
Para os termos constantes:

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Resposta

As constantes são e .

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