Derive cada função dos exercícios a seguir
f(x)=lllx^3 sen(1x^4) & se & x neq 0 0 & se & x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função quando f(x) = x^3 cdot sin(1x^4) . A função é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se u(x) = x^3 e v(x) = sin(1x^4) , então:
u'(x) = 3x^2
Aqui, temos:
v'(x) = cos(1x^4) cdot (-4x^5) = -4x^5 cos(1x^4)
Vamos derivar cada parte:
f'(x) = 3x^2 cdot sin(1x^4) + x^3 cdot (-4x^5 cos(1x^4))
Para f'(x) = 3x^2 sin(1x^4) - 4x^-2 cos(1x^4) , aplicamos a regra da cadeia, que para é:
Agora, substituindo na regra do produto:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso onde f'(0) = limh to 0 f(h) - f(0)h = limh to 0 h^3 sin(1h^4)h = limh to 0 h^2 sin(1h^4) . A função é definida como |h^2 sin(1h^4)| <= h^2 . Para encontrar f'(0) = 0 , usamos o limite da derivada:
Sabemos que , então:
E como tende a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Confronto:

Resposta

A derivada da função f'(x) = 3x^2 sin(1x^4) - 4x^-2 cos(1x^4) & se x neq 0 0 & se x = 0 é dada por:

Exercícios relacionados