Derive cada função dos exercícios a seguir
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função quando
. A função é:
Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se
, então:
Aqui, temos:
Vamos derivar cada parte:
Para
, aplicamos a regra da cadeia, que para
é:
Agora, substituindo na regra do produto:
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos considerar o caso onde
. A função é definida como
. Para encontrar
, usamos o limite da derivada:
Sabemos que
, então:
E como
tende a 0 quando
tende a 0, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
A derivada da função
é dada por: