Derive cada função dos exercícios a seguir

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função quando . A função é:
Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que se , então:
Aqui, temos:
Vamos derivar cada parte:
Para , aplicamos a regra da cadeia, que para é:
Agora, substituindo na regra do produto:
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso onde . A função é definida como . Para encontrar , usamos o limite da derivada:
Sabemos que , então:
E como tende a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Confronto:

Resposta

A derivada da função é dada por:

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Considere . Para calcular , Sócrates definiu e . Concluiu que . Calculou e . Usando a Regra da cadeia, multiplicou os dois valores para obter . Aristóteles, que também queria calcular , escreveu: e, portanto, para todo . Quem acertou? Quem errou e por quê?
e . Que informação(ções) você necessita sobre a função para calcular ?
Calcule a integral indefinida.
$(b)
Simplifique as expressões algébricas abaixo: .
7
Ache constantes e tais que:
(a) ;